Ma trận xác định dương là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan
Ma trận xác định dương là ma trận vuông $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ đối xứng mà với mọi vectơ cột $x\neq 0$, biểu thức $x^T A x$ luôn dương, thể hiện tích lũy năng lượng trên mọi hướng. Đặc trưng của ma trận này là mọi giá trị riêng đều dương, mọi định thức con chính dương và tồn tại phân tích Cholesky $A=LL^T$ với $L$ tam giác dưới có đường chéo dương.
Định nghĩa Ma trận Xác định Dương
Ma trận vuông gọi là xác định dương nếu với mọi vectơ cột không không ta luôn có
Yêu cầu này ngụ ý rằng biểu thức song tuyến tính do sinh ra đóng vai trò tích lũy năng lượng dương trên mọi hướng của không gian vectơ. Kết quả là hàm số chỉ có giá trị lớn hơn không, trừ trường hợp .
Định nghĩa này đòi hỏi hai điều kiện: phải đối xứng (tức ) và mọi cặp phần tử trong phép tính đều góp giá trị dương. Hầu hết các ma trận trong ứng dụng khoa học tính toán, tối ưu hóa và thống kê đều được giả thiết xác định dương để bảo đảm tính ổn định và khả năng giải hệ.
Tính chất Cơ bản
Một ma trận xác định dương có các tính chất then chốt sau đây:
- Đối xứng: . Mọi ma trận xác định dương buộc phải đối xứng để đảm bảo luôn thực.
- Giá trị riêng dương: Nếu với vectơ riêng , thì .
- Định thức và các principal minors: và mọi định thức con chính đều dương.
- Không có vectơ không dương tính: Không tồn tại sao cho hoặc .
Nhờ những tính chất này, cho phép định nghĩa căn bậc hai và nghịch đảo cũng là xác định dương, đồng thời các phép toán như phân tích Cholesky và phân tích phổ luôn khả thi và ổn định về mặt số.
Điều kiện Sylvester
Theo tiêu chí Sylvester, một ma trận đối xứng xác định dương nếu và chỉ nếu tất cả các định thức con chính từ cấp 1 đến cấp đều dương. Cụ thể, ký hiệu là định thức của ma trận con , ta có:
\Delta_1 > 0,\ \Delta_2 > 0,\ \dots,\ \Delta_n = \det(A) > 0
\end{script>
| Cấp |
|---|