Ma trận xác định dương là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa Ma trận Xác định Dương

Ma trận vuông $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ gọi là xác định dương nếu với mọi vectơ cột không không $x \in \mathbb{R}^n$ ta luôn có

$x^T A x > 0$

Yêu cầu này ngụ ý rằng biểu thức song tuyến tính do $A$ sinh ra đóng vai trò tích lũy năng lượng dương trên mọi hướng của không gian vectơ. Kết quả là hàm số $f(x)=x^T A x$ chỉ có giá trị lớn hơn không, trừ trường hợp $x=0$.

Định nghĩa này đòi hỏi hai điều kiện: $A$ phải đối xứng (tức $A=A^T$) và mọi cặp phần tử trong phép tính $x^T A x$ đều góp giá trị dương. Hầu hết các ma trận trong ứng dụng khoa học tính toán, tối ưu hóa và thống kê đều được giả thiết xác định dương để bảo đảm tính ổn định và khả năng giải hệ.

Tính chất Cơ bản

Một ma trận $A$ xác định dương có các tính chất then chốt sau đây:

• Đối xứng: $A = A^T$. Mọi ma trận xác định dương buộc phải đối xứng để đảm bảo $x^T A x$ luôn thực.
• Giá trị riêng dương: Nếu $A v = \lambda v$ với vectơ riêng $v\neq0$, thì $\lambda>0$.
• Định thức và các principal minors: $\det(A)>0$ và mọi định thức con chính đều dương.
• Không có vectơ không dương tính: Không tồn tại $x\neq0$ sao cho $Ax=0$ hoặc $x^T A x \le 0$.

Nhờ những tính chất này, $A$ cho phép định nghĩa căn bậc hai $A^{1/2}$ và nghịch đảo $A^{-1}$ cũng là xác định dương, đồng thời các phép toán như phân tích Cholesky và phân tích phổ luôn khả thi và ổn định về mặt số.

Điều kiện Sylvester

Theo tiêu chí Sylvester, một ma trận đối xứng $A$ xác định dương nếu và chỉ nếu tất cả các định thức con chính từ cấp 1 đến cấp $n$ đều dương. Cụ thể, ký hiệu $\Delta_k$ là định thức của ma trận con $A_{1:k,1:k}$, ta có:

$\Delta_1 > 0,\ \Delta_2 > 0,\ \dots,\ \Delta_n = \det(A) > 0
\end{script></pre>
<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>Cấp <script type="math/tex">k$
      Định thức con chính $\Delta_k$
      Yêu cầu
    
  
  
    
      1
      $\Delta_1 = a_{11}$
      > 0
    
    
      2
      $\Delta_2 = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$
      > 0
    
    
      …
      …
      …
    
    
      $n$
      $\Delta_n = \det(A)$
      > 0
    
  

Việc kiểm tra tuần tự từng $\Delta_k$ cho phép sớm phát hiện ma trận không thỏa mãn điều kiện, tiết kiệm chi phí tính toán so với phân tích toàn bộ phổ giá trị riêng. Thông tin này thường được áp dụng trong các thư viện số như LAPACK (LAPACK Users’ Guide).

Phân tích Giá trị Riêng
Vì $A$ đối xứng nên tồn tại phân tích trực giao
$A = Q \Lambda Q^T,\quad Q^TQ=I,\ \Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).$
Một ma trận xác định dương tương đương với việc mọi giá trị riêng $\lambda_i$ trong $\Lambda$ đều thỏa mãn $\lambda_i>0$. Việc kiểm tra phổ giá trị riêng được thực hiện bằng các thuật toán QR hoặc divide-and-conquer với độ chính xác cao (MathWorld).
Giá trị riêng cũng cho phép định nghĩa condition number $\kappa(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$, đại lượng quan trọng đánh giá độ nhạy của việc giải hệ $Ax=b$ trước sai số làm tròn. Ma trận có $\kappa(A)$ thấp (gần 1) cho thấy tính ổn định số học cao, trong khi $\kappa(A)$ rất lớn dễ dẫn đến sai số tích lũy.
Phân tích Cholesky
Phân tích Cholesky phân tách ma trận xác định dương $A$ thành tích của ma trận tam giác dưới $L$ và chuyển vị của nó:
$A = L\,L^T,\quad L\in\mathbb{R}^{n\times n}\text{ tam giác dưới, }L_{ii}>0.$
Giải thuật Cholesky lặp qua hàng và cột, tính thành phần $L_{ii}$ và $L_{ji}$ theo công thức:
$L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2},\quad
L_{ji} = \frac{1}{L_{ii}}\bigl(A_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1}L_{jk}L_{ik}\bigr).$
Độ phức tạp tính toán của Cholesky xấp xỉ $\tfrac{1}{3}n^3$ phép toán, nhanh hơn phân tích phổ giá trị riêng hay khử Gaussian. Phân tích Cholesky thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính $Ax=b$ nhanh chóng và ổn định, đồng thời phát hiện ngay lập tức nếu $A$ không xác định dương khi biểu thức dưới dấu căn bị âm (LAPACK Users’ Guide).

  

    

      
Bước
      
Phép toán chính
      
Độ phức tạp
    
  
  

    

      
Tính $L_{ii}$
      
Căn bậc hai của số thực dương
      
$\mathcal{O}(n^2)$ tổng thể
    
    

      
Tính $L_{ji}$
      
Thương của hiệu hai tổng tích
      
$\mathcal{O}(n^3)$ tổng thể
    
  


Ứng dụng trong Tối ưu hóa
Trong tối ưu hóa lồi, hàm bậc hai
$f(x)=\tfrac12x^TAx - b^Tx + c$
là lồi toàn cục nếu $A$ xác định dương, đảm bảo tồn tại nghiệm tối ưu duy nhất giải $\nabla f(x)=Ax-b=0$. Phương pháp gradient descent và Newton tận dụng đặc tính này để hội tụ nhanh chóng:

  
Gradient Descent: bước nhảy $\alpha$ chọn trong khoảng $(0,\,2/\lambda_{\max})$ để đảm bảo giảm hàm mục tiêu mỗi bước.
  
Newton’s Method: sử dụng phân tích Cholesky để giải hệ $A\,p = -\nabla f(x)$, hội tụ bậc hai gần nghiệm tối ưu (MIT OpenCourseWare).

Độ hội tụ tuyến tính của gradient descent tỉ lệ nghịch với condition number $\kappa(A)$, trong khi Newton ổn định hơn nhưng yêu cầu tính nghịch đảo hoặc phân tích Cholesky của $A$ tại mỗi bước, chi phí $\mathcal{O}(n^3)$.

Ứng dụng trong Thống kê
Ma trận hiệp phương sai $\Sigma$ của phân phối chuẩn đa biến $N(\mu,\Sigma)$ phải xác định dương để mật độ xác suất có nghĩa:
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det\Sigma}}
\exp\bigl(-\tfrac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\bigr).$
Xác định dương của $\Sigma$ đảm bảo tồn tại $\Sigma^{-1}$ và $\det\Sigma>0$. Trong phân tích thành phần chính (PCA), phân tích giá trị riêng của $\Sigma$ cho biết phương sai theo từng hướng, cho phép giảm chiều dữ liệu bằng cách chọn các thành phần chính với giá trị riêng lớn nhất (CMU Lecture).
Trong hồi quy tuyến tính $y = X\beta + \varepsilon$, ma trận thiết kế $X^TX$ phải xác định dương để phép ước lượng bình phương nhỏ nhất $\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$ tồn tại và duy nhất. Đa cộng tuyến dẫn đến $X^TX$ suy biến hoặc gần suy biến, gây khối ill-conditioning.

Kiểm tra Số và Ổn định Tính Toán
Condition number $\kappa(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$ đánh giá độ nhạy của lời giải hệ $Ax=b$ đối với sai số trong $A$ và $b$. Ma trận có $\kappa(A)$ cao dễ dẫn đến mất chính xác do sai số làm tròn. Sử dụng phân tích Cholesky thay cho khử Gauss có thể giảm sai số tích lũy nhờ hạn chế số phép chia và nhân (NIST Matrix Computation).
Thuật toán kiểm tra Cholesky breakdown dừng khi gặp $L_{ii}^2 = A_{ii} - \sum_{k}L_{ik}^2 \le 0$, báo hiệu $A$ không xác định dương. Đây là phương pháp nhanh và ổn định hơn so với tính toàn bộ phổ giá trị riêng.

Tài liệu Tham Khảo

  
Horn, R.A., Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2013.
  
LAPACK Working Group. LAPACK Users’ Guide. Truy cập: https://www.netlib.org/lapack/lug/
  
MathWorld. “Positive Definite Matrix.” Truy cập: https://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html
  
MIT OpenCourseWare. “Numerical Methods for Partial Differential Equations.” Truy cập: https://ocw.mit.edu/courses/18-335j-numerical-methods-for-partial-differential-equations-spring-2019/
  
NIST. “Matrix Computation.” Truy cập: https://www.nist.gov/publications/matrix-computation